Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau facile\red{\text{niveau facile}} - Exercice 3

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=4u_{0} =4 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,75un−2,5u_{n+1} =0,75u_{n} -2,5
Soit vn=un+10v_{n} =u_{n} +10
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,750,75.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un+10v_{n} =u_{n} +10
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1+10v_{n+1} =u_{n+1} +10 . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,75un−2,5u_{n+1} =0,75u_{n} -2,5.
vn+1=0,75un−2,5+10v_{n+1} =0,75u_{n} -2,5+10
vn+1=0,75un+7,5v_{n+1} =0,75{\color{blue}{u_{n}}} +7,5.
Or vn=un+10v_{n} =u_{n} +10 donc vn−10=un{\color{blue}{v_{n} -10=u_{n}}} . Ainsi :
vn+1=0,75×(vn−10)+7,5v_{n+1} =0,75\times {\color{blue}{\left(v_{n} -10\right)}}+7,5
vn+1=0,75vn−0,75×10+7,5v_{n+1} =0,75v_{n} -0,75\times 10+7,5
vn+1=0,75vn−7,5+7,5v_{n+1} =0,75v_{n} -7,5+7,5
vn+1=0,75vnv_{n+1} =0,75v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,75q=0,75 et de premier terme v0=u0+10=4+10v_{0} =u_{0} +10=4+10 donc v0=14v_{0} =14
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=14×0,75nv_{n} =14\times 0,75^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(14)×0,75n−10u_{n} =\left(14\right)\times 0,75^{n} -10.

Correction
On sait que : vn=un+10v_{n} =u_{n} +10 donc vn−10=unv_{n} -10=u_{n}
Il vient alors que :
un=14×0,75n−10u_{n} =14\times 0,75^{n} -10
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,75<1-1< 0,75< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(14)×(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(14\right)\times \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(14)×(0,75)n−10=−10\lim\limits_{n\to +\infty } \left(14\right)\times \left(0,75\right)^{n} -10=-10
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−10\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-10

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