Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau facile\red{\text{niveau facile}} - Exercice 6

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,6un+0,5u_{n+1} =0,6u_{n} +0,5
Soit vn=un−54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,60,6.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un−54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−54v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{5}{4} . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,6un+0,5u_{n+1} =0,6u_{n} +0,5.
vn+1=0,6un+0,5−54v_{n+1} =0,6u_{n} +0,5-\frac{5}{4}
vn+1=0,6un−0,75v_{n+1} =0,6{\color{blue}{u_{n}}} -0,75.
Or vn=un−54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4} donc vn+54=unv_{n} +\frac{5}{4} ={\color{blue}{u_{n}}} . Ainsi :
vn+1=0,6×(vn+54)−0,75v_{n+1} =0,6\times {\color{blue}{\left(v_{n} +\frac{5}{4}\right)}}-0,75
vn+1=0,6vn+0,6×54−0,75v_{n+1} =0,6v_{n} +0,6\times \frac{5}{4}-0,75
vn+1=0,6vn+0,75−0,75v_{n+1} =0,6v_{n} +0,75-0,75
vn+1=0,6vnv_{n+1} =0,6v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,6q=0,6 et de premier terme v0=u0−54=1−54v_{0} =u_{0} -\frac{5}{4} =1-\frac{5}{4} donc v0=−14v_{0} =-\frac{1}{4}
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=(−14)×0,6nv_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(−14)×0,6n+54u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4} .

Correction
On sait que : vn=un−54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4} donc vn+54=unv_{n} +\frac{5}{4} =u_{n}
Il vient alors que :
un=(−14)×0,6n+54u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4}
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,6<1-1< 0,6< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,6)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,6\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−14)×(0,6)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−14)×(0,6)n+54=54\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} +\frac{5}{4} =\frac{5}{4}
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=54\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{5}{4}

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