Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$, étudions le signe de : $$u_{n} -\left(-4\right)$$
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} -\left(-4\right)$$ équivaut successivement à :
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} +4$$
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} +\frac{4\left(3n+1\right)}{3n+1}$$
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4+4\left(3n+1\right)}{3n+1}$$
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4+12n+4}{3n+1}$$
$$u_{n} -\left(-4\right)=\frac{16n}{3n+1}$$
Pour tout entier naturel $$n$$, nous savons alors que $$n \ge 0$$ . On vérifie aisément alors que $$16n\ge 0$$ et que $$3n+1>0$$ .
On peut alors conclure que $$\frac{16n}{3n+1} \ge0$$
Ainsi : $$u_{n} -\left(-4\right)\ge 0$$ et donc .
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est bien minorée par $$-4$$ .