Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 6

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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : {u0=5un+1=23un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {5} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{2}{3}u_{n}} \end{array}\right.
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bornée.

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est dite borneˊe\blue{\text{bornée}} si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe\blue{\text{majorée et minorée}}, c'est à dire s'il existe deux réels mm et MM tels que pour tout entier naturel nn , on ait : m≤un≤Mm\le u_n \le M
  • D’une part :\purple{\text{D'une part :}}
    • Il est évident que la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=23q=\frac{2}{3} et de premier terme u0=5u_0=5 .
    Le premier terme étant positif et la raison également, alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement positive pour tout entier naturel nn . Ainsi :
    un≥0u_n \ge 0 . La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc minoreˊe\blue{\text{minorée}} par 00 .
  • D’autre part :\purple{\text{D'autre part :}}
    • Maintenant, étudions le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
    Il est impératif de vérifier tout d'abord que un>0u_{n}>0 pour pouvoir utiliser cette méthode.
    • Si un+1un≥1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
    • Si un+1un≤1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
    • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
    Pour tout entier naturel nn, nous savons que un+1=23unu_{n+1}=\frac{2}{3}u_{n} et également que la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement positive.
    Ainsi :
    un+1un=23\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2}{3}
    Soit un+1un<1\frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1 . La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc décroissante, elle est donc majoreˊe\blue{\text{majorée}} par son premier terme u0=5u_0=5 .
    Ce qui nous donne : un≤5u_n \le 5 . La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc majoreˊe\blue{\text{majorée}} par 55 .
    Pour tout entier naturel nn, nous avons montré que 0<un≤50<u_n\le 5
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien borneˊe\blue{\text{bornée}}.

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