Somme des termes d'une suite et limites - Exercice 2

$$S_{n} =\sum _{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2} }$$
$$S_{n} =\frac{1}{n^{2} } +\frac{2}{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } +\ldots +\frac{n}{n^{2} }$$
$$S_{n} =\frac{1}{n^{2} } \times \left(1+2+3+\ldots +n\right)$$
Or : $$1+2+3+\ldots +n$$ correspond à la somme des $$n$$ termes d'une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme $$u_{0}=1$$.Ainsi : $$1+2+3+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Il en résulte que :
$$S_{n} =\frac{1}{n^{2} } \times \frac{n(n+1)}{2}$$
Finalement :

Comme nous connaissons l'expression de $$S_{n}$$ en fonction de $$n$$, nous allons pouvoir calculer la limite de $$S_{n}$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici $$n$$ au numérateur et au dénominateur.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n\left(\frac{2}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{n}{n} +\frac{1}{n} }{\frac{2n}{n} }$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2 }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2} =\frac{1}{2}$$
Finalement : donc la suite $$S_{n}$$ converge vers le réel $$\frac{1}{2}$$.