Théorème de comparaison - Exercice 3

Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$u_{n+1} =u_{n} +2n+3$$.
Il en résulte donc que : $$u_{n+1} -u_{n}=2n+3$$.
Comme $$n$$ est un entier naturel, alors $$n\ge 0$$ ce qui signifie que $$2n\ge 0$$ et enfin $$2n+3\ge 3$$. Ainsi : $$2n+3\ge 0$$
Il vient alors que : $$u_{n+1} -u_{n}\ge 0$$.
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc $$\red{\text{croissante}}$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} >n^{2}$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{0} >0^{2}$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} >k^{2}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} >\left(k+1\right)^{2}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} >k^{2}$$ , on rajoute $$2k+3$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$u_{k} +2k+3>k^{2} +2k+3$$
Ainsi : $$u_{k+1} >\left(k^{2} +2k+1\right)+ 2$$ . Or $$k^{2} +2k+1=\left(k+1\right)^{2}$$
D'où : $$u_{k+1} >\left(k+1\right)^{2} +2$$. On peut alors écrire que :
$$u_{k+1} >\left(k+1\right)^{2} +2>\left(k+1\right)^{2}$$
D'où : $$u_{k+1} >\left(k+1\right)^{2}$$.
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} >n^{2}$$ .

On vient de démontrer que pour entier naturel $$n$$, on a : $$u_{n}>n^{2}$$.
Or : $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}=+\infty$$
On a donc :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}=+\infty$$ et $$u_{n}>n^{2}$$ . D'après le théorème de comparaison :