Utiliser le théorème de convergence des suites monotones - Exercice 2

17 min
30
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=32u_{0} =\frac{3}{2} et pour tout entier naturel nn, on a un+1=un2−2un+2u_{n+1} =u_{n}^{2} -2u_{n} +2.
Question 1

Calculer les valeurs de u1u_{1} et u2u_{2}.

Correction
D'une part :
u0+1=u02−2u0+2u_{0+1} =u_{0}^{2} -2u_{0} +2 ainsi : u1=u02−2u0+2u_{1} =u_{0}^{2} -2u_{0} +2
On obtient : u1=(32)2−2×(32)+2u_{1} =\left(\frac{3}{2} \right)^{2} -2\times \left(\frac{3}{2} \right)+2 ce qui nous donne :
u1=54u_{1}=\frac{5}{4}

D'autre part :
u1+1=u12−2u1+2u_{1+1} =u_{1}^{2} -2u_{1} +2 ainsi : u2=u12−2u1+2u_{2} =u_{1}^{2} -2u_{1} +2
On obtient : u2=(54)2−2×(54)+2u_{2} =\left(\frac{5}{4} \right)^{2} -2\times \left(\frac{5}{4} \right)+2 ce qui nous donne :
u2=1716u_{2}=\frac{17}{16}

Question 2
On admet que , pour tout entier naturel nn, on a : 1≤un≤21\le u_{n} \le 2

Montrer que : un+1−un=(un−2)(un−1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)

Correction
Nous savons que : un+1=un2−2un+2u_{n+1} =u_{n}^{2} -2u_{n} +2
Pour tout entier naturel nn, on a :
un+1−un=un2−2un+2−unu_{n+1} -u_{n}=u_{n}^{2} -2u_{n} +2-u_{n}
un+1−un=un2−3un+2u_{n+1} -u_{n}=u_{n}^{2} -3u_{n} +2
Développons maintenant l'expression (un−2)(un−1)\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right), il vient alors que :
(un−2)(un−1)=un2−un−2un+2\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)=u_{n}^{2} -u_{n} -2u_{n}+2
(un−2)(un−1)=un2−3un+2\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)=u_{n}^{2} -3u_{n} +2
Il en résulte que : un+1−un=(un−2)(un−1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)
Question 3

Déterminer le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.

Correction
On admet que , pour tout entier naturel nn, on a : 1≤un≤21\le u_{n} \le 2 ainsi :
D'une part :
1≤un≤21\le u_{n} \le 2 équivaut à : 1−1≤un−1≤2−11-1\le u_{n}-1 \le 2-1 c'est à dire : 0≤un−1≤10\le u_{n}-1 \le 1
D'autre part :
1≤un≤21\le u_{n} \le 2 équivaut à : 1−2≤un−2≤2−21-2\le u_{n}-2 \le 2-2 c'est à dire : −1≤un−2≤0-1\le u_{n}-2 \le 0
On a donc montré que un−1≥0u{}_{n} -1\ge 0 et un−2≤0u{}_{n} -2\le 0, on en déduit donc que : un+1−un≤0u{}_{n+1} -u_{n} \le 0 car un+1−un=(un−2)(un−1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)
Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 4

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction
  • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
  • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
D'après les hypothèses, la suite (un)\left(u_{n} \right) est bornée car : 1≤un≤21\le u_{n} \le 2 . La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc également minorée par 11 c'est à dire un≥1u_{n} \ge 1 .
De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note ℓ\ell .

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.