Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'inflexion d'une fonction ff - Exercice 2

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On considère la fonction ff définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=x4f\left(x\right)=x^{4} .
On note Cf\mathscr{C_f} la courbe représentative de la fonction ff .
Question 1

Déterminer algébriquement les coordonnées du (ou des) point(s) d'inflexion éventuel(s) de Cf\mathscr{C_f}.

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de f′′f''. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de ff.
ff est deux fois dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ .
Il vient que :
f′(x)=4x3f'\left(x\right)=4x^{3} et f′′(x)=12x2f''\left(x\right)=12x^{2}
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Pour tout réel x∈]−∞;+∞[x\in \left]-\infty;+\infty\right[, on vérifie aisément que 2x2≥02x^{2}\ge 0 .
Il en résulte donc que :
  • si x∈]−∞;+∞[x\in\left]-\infty;+\infty\right[ alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.

Ainsi :
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Dans cette situation, f′′f'' s'annule mais ne change pas de signe en 00.
Il en résulte donc qu'au point d'absicce 00 la fonction ff n'admet pas de point d'inflexion.
La fonction ff n'admet donc pas de point d'inflexion sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[ .

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