Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 2

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de $$f$$.
$$f$$ est deux fois dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ .
Il vient que :
$$f'\left(x\right)=4x^{3} +24x$$ et $$f''\left(x\right)=12x^{2}+24$$
Pour tout réel $$x$$, nous savons que $$x^{2}\ge 0$$ . On en déduit donc que $$12x^{2}+24>0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)>0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :

On a vu à la question $$2$$ que la fonction dérivée seconde de $$f$$ est strictement positive.
Pour tout réel $$x$$, on a donc : $$f''\left(x\right)>0$$. Cela signifie donc que $$f''$$ ne s'annule pas .
Il en résulte que la fonction $$f$$ n'admet pas de point d'inflexion.