Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 2

Nous allons commencer par calculer $$f'$$ puis $$f''$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ .
Ainsi $$f'\left(x\right)=e^{x}$$ et $$f''\left(x\right)=e^{x}$$ .
Pour tout réel $$x$$, on sait, par définition, que $$e^{x}>0$$
Il en résulte donc que $$f$$ est convexe sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ .

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=e^{0}+3$$
$$f\left(0\right)=1+3$$
$$f\left(0\right)=4$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=e^{0}$$
$$f'\left(0\right)=1$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=1\times \left(x-0\right)+4$$
$$y=x+4$$
Ainsi l'équation de la tangente $$\mathscr{D}$$ à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=x+4$$.

D'après la question $$1$$, nous avons montré que sur l'intervalle $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ la fonction $$f$$ est convexe. Sa courbe est alors située au-dessus de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est au-dessus de la tangente au point d'abscisse $$0$$.
Ainsi pour tout réel $$x\in \left]-\infty;+\infty \right[[$$, on a :
$$f\left(x\right)\ge x+4$$
$$e^{x}+3\ge x+4$$
$$e^{x}+3-x-4\ge 0$$
Finalement :