Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ - Exercice 3

$$f\left(x\right)=4\ln \left(x\right)-2x^{2}+7$$
$$f'\left(x\right)=4\times \frac{1}{x} -4x$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -4x$$ . On va mettre tout au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -\frac{4x^2}{x}$$
Ainsi :

$$f'\left(x\right)=\frac{4-4x^{2} }{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$4-4x^{2}$$.
$$4-4x^{2}$$ est une équation du second degré, pour étudier son signe on va utiliser le discriminant .
On donnera directement les résultats : $$\Delta =64$$ ; $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =1$$ .
Comme $$a=-4<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Pour nous aider on va donner pour le moment le signe de $$4-4x^{2}$$ sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ (vous ne devrez en aucun cas le faire sur votre copie c'est juste pour nous aider)
On n'oublie pas que nous devons étudier les variations de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$.
On en déduit maintenant le tableau de variation de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$ :