Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ - Exercice 4

$$f\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+4x-1$$
$$f'\left(x\right)=7\times \frac{1}{x}+4$$
$$f'\left(x\right)=\frac{7}{x} +4$$ . On va mettre tout au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{7}{x} +\frac{4x}{x}$$
Ainsi :

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{7+4x}{x}$$ et nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ .
Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$7+4x$$
Résolvons :
$$7+4x\ge 0$$
$$4x\ge -7$$
$$x\ge -\frac{7}{4}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$7+4x$$ dès que $$x\ge -\frac{7}{4}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :