Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ - Exercice 5

Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}$$

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1$$ et nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ .
Résolvons :
$$\ln(x)+1\ge 0$$
$$\ln{x}\ge -1$$
$$\ln{x}\ge \ln{(e^{-1})}$$ Ici on ne change pas l'ordre de l'inéquation, car la fonction $$\ln$$ est strictement croissante sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$x\ge {e^{-1}}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$\ln{(x)}+1$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :