Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ - Exercice 6

Ici on reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)+2$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-(\ln \left(x\right)+2)\times1}{x^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)-2}{x^{2} }$$

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{-\ln \left(x\right)-1}{x^{2} }$$ et nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ .
Résolvons :
Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$-\ln{(x)}-1$$
$$-\ln(x)-1\ge 0$$
$$-\ln{x}\ge 1$$
$$\ln{x}\le -1$$
$$\ln{x}\le \ln{(e^{-1})}$$ Ici on ne change pas l'ordre de l'inéquation, car la fonction $$\ln$$ est strictement croissante sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$x\le {e^{-1}}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-\ln{(x)}-1$$ dès que $$x\le e^{-1}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :