Résoudre les équations - Exercice 2

$$\left(x-1\right)\left(\ln \left(x\right)+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $$x-1=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$\ln \left(x\right)+2=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-1=0$$
$$x=1$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\ln \left(x\right)+2=0$$
$$\ln \left(x\right)=-2$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{-2}$$ . Or $$e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[$$
Les solutions de l'équation $$\left(x-1\right)\left(\ln \left(x\right)+2\right)=0$$ sont :

$$\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $$2x+6=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$\ln \left(x\right)-8=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$2x+6=0$$
$$2x=-6$$
$$x=-3$$ $$\;$$Or$$\;\;\;$$ $$-3 \notin \left]0;+\infty \right[$$
Donc $$x=-3$$ n'est pas une solution de l'équation $$\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0.$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\ln \left(x\right)-8=0$$
$$\ln \left(x\right)=8$$
$$\ln x=\ln \left(e^{8} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{8}$$ . Or $$e^{8} \in \left]0;+\infty \right[$$
La solution de l'équation $$\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0$$ est :

$$\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $$10x+5=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$\ln \left(x\right)-5=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$10x+5=0$$
$$10x=-5$$
$$x=-\frac{1}{2}$$ Or$$\;\;\;$$ $$-\frac{1}{2} \notin \left]0;+\infty \right[$$
Donc $$x=-\frac{1}{2}$$ n'est pas une solution de l'équation $$\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0.$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\ln \left(x\right)-5=0$$
$$\ln \left(x\right)=5$$
$$\ln x=\ln \left(e^{5} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{5}$$ . Or $$e^{5} \in \left]0;+\infty \right[$$
La solution de l'équation $$\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0$$ est :

$$2x+3x\ln \left(x\right)=0$$ $$\;\;$$ Nous allons factoriser par $$x$$ .
$$x(2+3\ln{(x)})=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $$x=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$2+3\ln \left(x\right)=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x=0$$ $$\;\;\;\;\;$$Or $$0 \notin \left]0;+\infty \right[,$$ donc $$0$$ n'est pas solution de l'équation $$2x+3x\ln \left(x\right)=0$$ .
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$2+3\ln \left(x\right)=0$$
$$3\ln \left(x\right)=-2$$
$$\ln{(x)}=-\frac{2}{3}$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-\frac{2}{3}} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{-\frac{2}{3}}$$ . Or $$e^{-\frac{2}{3}} \in \left]0;+\infty \right[$$
La solution de l'équation $$2x+3x\ln \left(x\right)=0$$ est :

$$\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$$ $$\;\;$$ Nous allons factoriser par $$\ln(x)$$ .
$$\ln(x)(\ln{(x)}-6)=0$$
On a donc : $$\ln{(x)}=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$\ln{(x)}-6=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\ln \left(x\right)=0$$
$$\ln x=\ln \left(e^{0} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{0}=1$$ . Or $$1 \in \left]0;+\infty \right[$$
Donc $$x=1$$ est une solution de l'équation $$\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$$.
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\ln \left(x\right)-6=0$$
$$\ln \left(x\right)=6$$
$$\ln x=\ln \left(e^{6} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{6}$$ . Or $$e^{6} \in \left]0;+\infty \right[$$
Les solutions de l'équation $$\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$$ sont :

$$\ln ^{2} \left(x\right)-9=0$$ $$\;\;$$
Il faut penser à l'identité remarquable $$a^{2} -b^{2} =\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$
Ainsi :
$$\ln ^{2} \left(x\right)-3^{2}=0$$
$$(\ln(x)+3)(\ln(x)-3)=0$$
On a donc : $$\ln{(x)}-3=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$\ln{(x)}+3=0=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\ln \left(x\right)-3=0$$
$$\ln \left(x\right)=3$$
$$\ln x=\ln \left(e^{3} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{3}$$ . Or $$e^{3} \in \left]0;+\infty \right[$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\ln \left(x\right)+3=0$$
$$\ln \left(x\right)=-3$$
$$\ln x=\ln \left(e^{-3} \right)$$ car $$\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$$
$$x=e^{-3}$$ . Or $$e^{-3} \in \left]0;+\infty \right[$$
Les solutions de l'équation $$\ln ^{2} \left(x\right)-9=0$$ sont :