Résoudre les inéquations - Exercice 3

$$8^{n} \ge 5200$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(8^{n} \right)\ge \ln \left(5200\right)$$
$$n\ln \left(8\right)\ge \ln \left(5200\right).$$
Or $$\ln \left(8\right)>0$$.
D'où $$n\ge \frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)} \approx 4,11$$ et on arrondi à l'entier supérieur).

$$\left(1,01\right)^{n} \ge 1,3$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(1,01^{n} \right)\ge \ln \left(1,3\right)$$
$$n\ln \left(1,01\right)\ge \ln \left(1,3\right).$$
Or $$\ln \left(1,01\right)>0$$.
D'où $$n\ge \frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)} \approx 26,36$$ et on arrondi à l'entier supérieur).

$$\left(0,8\right)^{n} \le 0,05$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(0,8^{n} \right)\le \ln \left(0,05\right)$$
$$n\ln \left(0,8\right)\le \ln \left(0,05\right).$$
Or $$\ln \left(0,8\right)<0$$.
D'où $$n\ge \frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)} \approx 13,42$$ et on arrondi à l'entier supérieur).