Exercices types : Loi de densité - Exercice 2

Notons $$X$$ la variable aléatoire définie sur $$\left[0;2\right]$$ dont la loi de probabilité a pour densité $$f$$
$$x\mapsto \frac{e^{0,5x} }{2e-2}$$ est une fonction exponentielle .
Par définition, une fonction exponentielle est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[0;2\right]$$.
De plus, $$x\in \left[0;2\right]$$ donc : $$2e-2>0$$ car $$e\approx2,71$$ et $$e^{0,5x}>0$$.
Ainsi : $$f$$ est positive sur $$\left[0;2\right]$$
Enfin :
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\int _{0}^{2}\left(\frac{e^{0,5x} }{2e-2} \right)dx$$ équivaut successivement à
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\left[\frac{1}{0,5} \times \frac{e^{0,5x} }{2e-2} \right]_{0}^{2}$$
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\left[2 \times \frac{e^{0,5x} }{2e-2} \right]_{0}^{2}$$
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\left[\frac{e^{0,5x} }{e-1} \right]_{0}^{2}$$
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\frac{e^{1} }{e-1}-\left(\frac{1}{e-1} \right)$$
$$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =\frac{e^{1}-1 }{e-1}$$
D'où : $$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =1$$
Il en résulte que la fonction $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;2\right]$$