Exercices types : Loi de densité - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=\lambda \left(2+x\right)\left(2-x\right)$$ que l'on peut écrire que $$f\left(x\right)=\lambda \left(4-x^{2}\right)$$.
$$x\mapsto \lambda \left(4-x^{2}\right)$$ est une fonction polynomiale.
Par définition, une fonction polynomiale est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[-1;1\right]$$.
De plus, $$x\in \left[-1;1\right]$$ on vérifie aisément que $$f$$ est positive sur $$\left[-1;1\right]$$.
Pour que $$f$$ soit une fonction de densité de probabilité, il nous reste à considérer que : $$\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx =1$$
Commençons par calculer $$I=\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx$$.
$$I=\int _{-1}^{1}\left(\lambda \left(4-x^{2}\right)\right)dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[\lambda \left(4x-\frac{1}{3} x^{3} \right) \right]_{-1}^{1}$$
$$I=\left(\lambda \left(4\times1-\frac{1}{3} \times1^{3} \right)\right)-\left(\lambda \left(4\times\left(-1\right)-\frac{1}{3} \times\left(-1\right)^{3} \right)\right)$$
$$I=\frac{11}{3} \lambda -\left(-\frac{11}{3} \lambda \right)$$
$$I=\frac{22}{3} \lambda$$
Afin que $$f$$ soit une fonction de densité sur $$\left[-1;1\right]$$, il faut que : $$\int _{-1}^{1}\left(\lambda \left(4-x^{2}\right)\right)dx=1$$.
D'où : $$\frac{22}{3} \lambda=1$$ ainsi :
Finalement :