Exercices types : Loi de densité - Exercice 4

Soit $$f\left(x\right)=2ax^{2}$$ .
$$x\mapsto 2ax^{2}$$ est une fonction polynomiale.
Par définition, une fonction polynomiale est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[0;2\right]$$.
De plus, $$x\in \left[0;2\right]$$ on vérifie aisément que $$f$$ est positive sur $$\left[0;2\right]$$.
Pour que $$f$$ soit une fonction de densité de probabilité, il nous reste à considérer que : $$\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =1$$
Commençons par calculer $$I=\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx$$.
$$I=\left[\frac{2}{3} ax^{3} \right]_{0}^{2}$$
$$I=\frac{2}{3} a\times 2^{3} -\frac{2}{3} a\times 0^{3}$$
$$I=\frac{2}{3} a\times 2^{3}$$
$$I=\frac{2}{3} a\times 8$$
$$I=\frac{16}{3} a$$
Afin que $$f$$ soit une fonction de densité sur $$\left[0;2\right]$$, il faut que : $$I=\int _{0}^{2}2ax^{2}dx=1$$.
Ainsi :
$$\frac{16}{3} a=1\Leftrightarrow a=1\times \frac{3}{16} \Leftrightarrow a=\frac{3}{16}$$
Finalement :