Loi de densité - Exercice 3

$$f$$ étant une fonction de densité sur $$\left[1;2\right]$$, alors on sait que $$f$$ est continue sur $$\left[1;2\right]$$ et positive sur $$\left[1;2\right]$$.
Commençons par calculer $$I=\int _{1}^{2}\left(x+2m\right)dx$$.
$$I=\int _{1}^{2}\left(x+2m\right)dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[\frac{1}{2} x^{2} +2mx\right]_{1}^{2}$$
$$I=\left(\frac{1}{2} \times \left(2\right)^{2} +2m\times \left(2\right)\right)-\left(\frac{1}{2} +2m\right)$$
$$I=\frac{3}{2} +2m$$
Afin que $$f$$ soit une fonction de densité sur $$\left[1;2\right]$$, il faut que : $$\int _{1}^{2}\left(x+2m\right)dx=1$$.
D'où : $$\frac{3}{2} +2m=1$$ ainsi :
Il en résulte que : $$f\left(x\right)=x+2\times \frac{-1}{4}$$
Finalement :

$$P\left(1 \le X\le \frac{3}{2} \right)=\int _{1 }^{\frac{3}{2} }f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$P\left(1 \le X\le \frac{3}{2} \right)=\int _{1 }^{\frac{3}{2} }\left(x-\frac{1}{2} \right)dx$$
$$P\left(1 \le X\le \frac{3}{2} \right) =\left[\frac{1}{2} x^{2} -\frac{1}{2} x\right]_{1}^{\frac{3}{2}}$$
$$P\left(1 \le X\le \frac{3}{2} \right) =\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2} -\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} -\frac{1}{2} \times 1\right)$$