Loi de densité - Exercice 4

Notons $$X$$ la variable aléatoire définie sur $$\left[0;1\right]$$ dont la loi de probabilité a pour densité $$f$$
$$x\mapsto \frac{e^{x} +1}{e}$$ est une fonction exponentielle.
Par définition, une fonction exponentielle est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[0;1\right]$$
$$x\mapsto \frac{e^{x} +1}{e}$$ est strictement positive car$$e^{x} >0$$ , donc $$f$$ est positive sur $$\left[0;1\right]$$
Enfin :
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\int _{0}^{1}\left(\frac{e^{x} +1}{e} \right)dx$$ équivaut successivement à
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left[\frac{e^{x} +x}{e} \right]_{0}^{1}$$
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left(\frac{e^{1} +1}{e} \right)-\left(\frac{e^{0} +0}{e} \right)$$
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left(\frac{e^{1} +1}{e} \right)-\frac{1}{e}$$
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\frac{e^{}}{e}+\frac{1}{e} -\frac{1}{e}$$
D'où : $$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =1$$.
Il en résulte que la fonction $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$

$$P\left(\frac{1}{2} \le X\right)=P\left(\frac{1}{2} \le X\le 1\right)$$ car $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$ donc si $$\frac{1}{2} \le X$$ alors $$\frac{1}{2} \le X\le 1$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{1}{2} }^{1}f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{1}{2} }^{1}\left(\frac{e^{x} +1}{e} \right)dx$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le 1\right)=\left[\frac{e^{x} +x}{e} \right]_{\frac{1}{2} }^{1}$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le 1\right)=\left(\frac{e^{1} +1}{e} \right)-\left(\frac{e^{\frac{1}{2} } +\frac{1}{2} }{e} \right)$$