Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

5 min
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XX est une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramaètre pp . On suppose que P(X>2)=916P\left(X>2\right)=\frac{9}{16}
Question 1

Déterminer la valeur de pp .

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tout entier naturel kk non nul, on a : P(X>k)=(1−p)k{\color{blue}{P\left(X>k\right)=\left(1-p\right)^{k}}}
    • D'après les hypothèses, nous savons que : P(X>2)=916P\left(X>2\right)=\frac{9}{16}
    Il en résulte donc que :
    (1−p)2=916\left(1-p\right)^{2}=\frac{9}{16} . Il nous faut donc résoudre cette équation :
    (1−p)2−916=0\left(1-p\right)^{2}-\frac{9}{16}=0
    (1−p)2−3242=0\left(1-p\right)^{2}-\frac{3^2}{4^2}=0
    (1−p)2−(34)2=0\left(1-p\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)^2=0 .       \;\;\; On retrouve l'identité remarquable : a2+b2=(a−b)(a+b)a^2+b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
    (1−p−34)(1−p+34)=0\left(1-p-\frac{3}{4}\right)\left(1-p+\frac{3}{4}\right)=0
    (14−p)(74−p)=0\left(\frac{1}{4}-p\right)\left(\frac{7}{4}-p\right)=0       \;\;\; Il s'agit d'une équation produit nul.
  • D’une part :\purple{\text{D'une part :}} résolvons 14−p\frac{1}{4}-p qui donne p=14p=\frac{1}{4} .
  • D’autre part :\purple{\text{D'autre part :}} résolvons 74−p\frac{7}{4}-p qui donne p=74p=\frac{7}{4} .
    • Il est impératif de ce rappeler que 0<p≤10 <p \le 1
    Il en résulte donc que l'on ne retient que p=14p=\frac{1}{4}

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