Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 3

10 min
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Question 1
Nous disposons d'un jeu de 3232 cartes. Le jeu consiste à tirer une carte avec remise jusqu'à tirer un AS.

Montrer que l'on peut modéliser cette situation par une variable aléatoire XX qui suit une loi géométrique. On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 as .\red{\text{ On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 as .}}

Correction
Reˊdaction type :\purple{\text{Rédaction type :}}
La variable aléatoire XX compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un succès (tirer un AS)\red{\text{(tirer un AS)}} lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est p=432=18p=\frac{4}{32}=\frac{1}{8} .
XX suit alors la loi géométrique de paramètre p=18p=\frac{1}{8} .
On écrit également que XX est la variable aléatoire suivant G(18)\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)
Question 2

Quelle est la probabilité que l'AS sorte au moins au huitième tirage?

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tout entier naturel kk non nul, on a : P(X>k)=(1−p)k{\color{blue}{P\left(X>k\right)=\left(1-p\right)^{k}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(18)\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right) .
    Il en résulte donc que :
    Il nous faut donc calculer : P(X≥8)P\left(X\ge 8\right)
    Or : P(X≥8)=P(X>7)P\left(X\ge 8\right)=P\left(X>7\right)
    Ainsi :
    P(X>7)=(1−18)7P\left(X>7\right)=\left(1-\frac{1}{8}\right)^{7}
    P(X>7)≈0,393P\left(X>7\right)\approx 0,393
    Ainsi :
    P(X≥8)≈0,393P\left(X\ge 8\right)\approx 0,393
    arrondi à 10−310^{-3} près .
    La probabilité que l'on ait besoin de 88 parties ou plus pour obtenir un AS est environ 0,3930,393
    Question 3

    Quelle est la probabilité que l'AS sorte exactement au 55ème tirage?

    Correction
      Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tout entier naturel kk non nul, on a : P(X=k)=p(1−p)k−1{\color{blue}{P\left(X=k\right)=p\left(1-p\right)^{k-1}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(18)\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right) .
    Il en résulte donc que :
    Il nous faut donc calculer :
    P(X=5)=18×(1−18)5−1P\left(X=5\right)=\frac{1}{8}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)^{5-1}
    P(X=5)=2  40132  768P\left(X=5\right)=\frac{2\;401}{32\;768}
    Ainsi :
    P(X=5)≈0,073P\left(X=5\right)\approx0,073
    arrondi à 10−310^{-3} près .
    La probabilité d'obtenir un premier succès lors du 55ème tirage est environ 0,0730,073 .
    Question 4

    Calculer E(X)E\left(X\right) et en donner une interprétation.

    Correction
      Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • L'espérance de XX est : E(X)=1p{\color{blue}{E\left(X\right)=\frac{1}{p}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(18)\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right) .
    Il en résulte donc que :
    E(X)=1(18)E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{8} \right)}
    D'où :
    E(X)=8E\left(X\right)=8

    En moyenne\blue{\text{En moyenne}} sur un grand nombre de tirages, il faudra 88 tirages pour tirer un AS.
    Question 5

    Calculer la variance et l'écart type de XX.

    Correction
      Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • La variance de XX est : V(X)=1−pp2{\color{blue}{V\left(X\right)=\frac{1-p}{p^{2} }}}
  • L'écart type de XX est : σ(X)=V(X)=1−pp{\color{blue}{\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\frac{\sqrt{1-p} }{p}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(18)\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right) .
    Il en résulte donc que :
    V(X)=1−18(18)2V\left(X\right)=\frac{1-\frac{1}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^{2} } ainsi
    V(X)=56V\left(X\right)=56

    σ(X)=56\sigma \left(X\right)=\sqrt{56} d'où
    σ(X)=214\sigma \left(X\right)=2\sqrt{14}

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