Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 4

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On lance une pièce truquée. La probabilité d’obtenir Face est égale à 14\frac{1}{4}. XX est la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir la première Face.
Question 1

Déterminer la loi de probabilité de XX .

Correction
Reˊdaction type :\purple{\text{Rédaction type :}}
La variable aléatoire XX compte le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un succès (obtenir Face)\red{\text{(obtenir Face)}} lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est p=14p=\frac{1}{4} .
XX suit alors la loi géométrique de paramètre p=14p=\frac{1}{4} .
On écrit également que XX est la variable aléatoire suivant G(14)\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right)
Question 2

Calculer E(X)E\left(X\right) et en donner une interprétation.

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • L'espérance de XX est : E(X)=1p{\color{blue}{E\left(X\right)=\frac{1}{p}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(14)\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right) .
    Il en résulte donc que :
    E(X)=114E\left(X\right)=\frac{1}{\frac{1}{4}}
    D'où :
    E(X)=4E\left(X\right)=4

    En moyenne\blue{\text{En moyenne}} sur un grand nombre de parties, il faudra 44 lancer pour obtenir la première Face.

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