Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Primitives et équations différentielles - Option mathématiques complémentaires

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=2y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=2

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{2x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{2x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $\frac{2}{7}y'+3y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

\frac{2}{7}y'+3y=0

équivaut successivement à :

\frac{2}{7} y'=-3y

y'=\frac{-3y}{\left(\frac{2}{7} \right)}

y'=\left(-3y\right)\times \left(\frac{7}{2} \right)

y'=-\frac{21}{2} y

On identifie ici que :

a=-\frac{21}{2}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-13y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-13

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-13x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-13x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-3y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-3

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-3x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-3x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=2yy'=2yy′=2y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 27y′+3y=0\frac{2}{7}y'+3y=072​y′+3y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−13yy'=-13yy′=−13y

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−3yy'=-3yy′=−3y

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=2y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $\frac{2}{7}y'+3y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-13y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-3y$