Caractériser la divisibilité : $$\red{\text{utiliser une combinaison linéaire}}$$ - Exercice 3

$$d$$ divise $$5n+4$$ et $$d$$ divise $$3n+1$$ alors $$d$$ divise toute combinaison linéaire de $$5n+4$$ et $$3n+1$$.
Par exemple :
$$d$$ divise $$\left(\blue{3}\times \left(5n+4\right)+\purple{\left(-5\right)}\times\left(3n+1\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$d$$ divise $$\left(15n+12-15n-5\right)$$
Ainsi :
$$7$$ n’a que deux diviseurs, $$1$$ et $$7$$ d'où : $$d\in \left\{1;7\right\}$$

$$d$$ divise $$2n+6$$ et $$d$$ divise $$8n+2$$ alors $$d$$ divise toute combinaison linéaire de $$2n+6$$ et $$8n+2$$.
Par exemple :
$$d$$ divise $$\left(\blue{4}\times \left(2n+6\right)+\purple{\left(-1\right)}\times\left(8n+2\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$d$$ divise $$\left(8n+24-8n+2\right)$$
Ainsi :
Les diviseurs de $$22$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(22\right)=\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\}$$
Ainsi les valeurs possibles de $$d$$ sont $$\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\}$$