Congruences - Exercice 4

Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de $$n$$ par $$5$$ .
Nous avons : $$\red{n} = \blue{5}\times\purple{q} + \pink{r}$$ avec $$0\le \pink{r} < \blue{5}$$
Les restes possibles dans la division euclidienne de $$n$$ par $$5$$ sont : $$0;1;2;3;4$$
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$5$$, nous allons déterminer les valeurs de $$n$$ pour lesquelles $$A=n^{2}+3n+2$$ est divisible par $$5$$ .$$A=n^{2}+3n+2$$ est divisible par $$5$$ si l'on peut écrire : $$n^{2}+3n+2\equiv \red{0} \left[5\right]$$ .
D'après le tableau des congruences modulo $$5$$ cela est vrai si $$n\equiv 3 \left[5\right]$$ $$\purple{\text{ou}}$$ $$n\equiv 4 \left[5\right]$$ .
On peut alors conclure que $$A=n^{2}+3n+2$$ est divisible par $$5$$ pour $$n=3+5k$$ $$\purple{\text{ou}}$$ $$n=4+5k$$ $$\left(k \in \mathbb{Z} \right)$$