Divisibilité et équations - Exercice 2

$$x^{2} -49y^{2}=211$$ s'écrit de manière équivalente sous la forme :
$$x^{2} -7^{2}y^{2}=211$$
$$x^{2} -\left(7y\right)^{2}=211$$
$$\left(x-7y\right)\left(x+7y\right)=211$$
Comme $$x$$ et $$y$$ sont des entiers alors $$x-7y$$ et $$x+7y$$ sont également des entiers.
$$x-7y$$ et $$x+7y$$ sont alors une décomposition de $$211$$ qui n’a que $$2$$ diviseurs positifs $$1$$ et $$211$$. On a donc les systèmes suivants :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-7y} & {=} & {1} \\ {x+7y} & {=} & {211} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+7y} \\ {x+7y} & {=} & {211} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+7y} \\ {1+7y+7y} & {=} & {211} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+7y} \\ {14y} & {=} & {210} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+7y} \\ {y} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+7\times 15} \\ {y} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {106} \\ {y} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
Le couple $$\left(106;15\right)$$ vérifie $$x^{2} -49y^{2}=211$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-7y} & {=} & {211} \\ {x+7y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {211+7y} \\ {x+7y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {211+7y} \\ {x+7y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {211+7y} \\ {211+7y+7y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {211+7y} \\ {14y} & {=} & {-210} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {211+7y} \\ {y} & {=} & {\red{-15}} \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=\red{-15}$$ n'est pas un entier naturel .
Le seul couple d'entiers naturels solution vérifiant : $$x^{2} -49y^{2}=211$$ est le couple $$\left(106;15\right)$$ .

$$16x^{2} =4y^{2}+4$$ s'écrit également
$$16x^{2} -4y^{2}=4$$
$$\left(4x\right)^{2} -\left(2y\right)^{2} =4$$
$$\left(4x-2y\right)\left(4x+2y\right)=4$$
Comme $$x$$ et $$y$$ sont des entiers alors $$4x-2y$$ et $$4x+2y$$ sont également des entiers.
$$4x-2y$$ et $$4x+2y$$ sont alors une décomposition de $$4$$ qui n’a que $$3$$ diviseurs positifs $$1$$ , $$2$$ et $$4$$. Il y a aura donc $$3$$ cas à traiter en tout.
$$\text{\blue{Premier cas :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x-2y} & {=} & {1} \\ {4x+2y} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {1+2y} \\ {1+2y+2y} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {1+2y} \\ {1+4y} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {1+2y} \\ {4y} & {=} & {4-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {1+2y} \\ {4y} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {1+2y} \\ {y} & {=} & {\red{\frac{3}{4} } } \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=\red{\frac{3}{4} }$$ n'est pas un entier naturel .
$$\text{\blue{Deuxième cas :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x-2y} & {=} & {4} \\ {4x+2y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {4+2y} \\ {4+2y+2y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {4+2y} \\ {4+4y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {4+2y} \\ {4y} & {=} & {1-4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {4+2y} \\ {4y} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {4+2y} \\ {y} & {=} & {\red{-\frac{3}{4} } } \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=\red{-\frac{3}{4} }$$ n'est pas un entier naturel .
$$\text{\blue{Troisième cas :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x-2y} & {=} & {2} \\ {4x+2y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {4x+2y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {2+2y+2y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {2+4y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {4y} & {=} & {2-2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {4y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {y} & {=} & {\frac{0}{4} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2y} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2+2\times 0} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {4x} & {=} & {2} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2}{4} } \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\red{\frac{1}{2} } } \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Impossible car $$x=\red{\frac{1}{2} }$$ n'est pas un entier naturel .
Finalement, il n'existe pas de couples d’entiers naturels $$\left(x;y\right)$$ vérifiant : $$16x^{2} =4y^{2}+4$$.