Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Nous allons tout simplement développer l'expression $$\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15$$ .
$$\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15=n^{2} -4n+3n-12+15$$
Ainsi :

D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15=n^{2} -n+3}$$
$$n-4$$ divise $$n^{2}-n+3$$ et $$n-4$$ divise $$n-4$$ alors $$n-4$$ divise toute combinaison linéaire de $$\pink{n^{2}-n+3}$$ et $$n-4$$.
On peut donc aussi dire que $$n-4$$ divise toute combinaison linéaire de $$\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15}$$ et $$n-4$$.
$$n-4$$ divise $$\left(\blue{\alpha}\times \left(\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15}\right)+\purple{\beta}\times\left(n-4\right)\right)$$ avec $$\blue{\alpha=1}$$ et $$\purple{\beta=-\left(n+3\right)}$$ Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n.}$$
Nous l'écrivons pour simplifier l'écriture :
$$n-4$$ divise $$\left(\blue{1}\times \left(\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15}\right)\purple{-\left(n+3\right)}\times\left(n-4\right)\right)$$
$$n-4$$ divise $$15$$
Les diviseurs de $$15$$ sont : $$\left\{-15; -5; -3;-1; 1;3;5;15\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(15\right)=\left\{-15; -5; -3;-1; 1;3;5;15\right\}$$
On a donc :
$$n-4=-15\Leftrightarrow n=-11$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=-5\Leftrightarrow n=-1$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=-3\Leftrightarrow n=1$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=-1\Leftrightarrow n=3$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=1\Leftrightarrow n=5$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=3\Leftrightarrow n=7$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=5\Leftrightarrow n=9$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-4=15\Leftrightarrow n=19$$
Les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-11;-5;1;3;5;7;9;19\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de $$n$$ on a : $$n-4$$ divise $$n^{2}-n+3$$
Si $$n=-11$$ , cela donne $$-15$$ divise $$135$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-5$$ , cela donne $$-9$$ divise $$33$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=1$$ , cela donne $$-3$$ divise $$3$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=3$$ , cela donne $$-1$$ divise $$9$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=5$$ , cela donne $$1$$ divise $$23$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=7$$ , cela donne $$3$$ divise $$45$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=9$$ , cela donne $$5$$ divise $$75$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=19$$ , cela donne $$14$$ divise $$345$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ pour lesquels $$n-4$$ divise $$n^{2}-n+3$$ sont :