Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$\left(n+2\right)\left(n+5\right)+8=n^{2} +5n+2n+10+8$$
Ainsi :

$$\frac{n^{2} +7n+18}{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+5\right)+8}{n+2}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{n^{2} +7n+18}{n+2} =\frac{\left(n+2\right)\left(n+5\right)}{n+2} +\frac{8}{n+2}$$
$$\frac{n^{2} +7n+18}{n+2} =n+5+\frac{8}{n+2}$$
Comme $$n$$ est un entier alors $$n+5$$ l'est également.
Il faut donc déterminer les valeurs de $$n$$ pour que $$\frac{8}{n+2}$$ soit également un entier. Il faut donc que $$n+2$$ divise $$8$$.
Les diviseurs positifs de $$8$$ sont : $$D\left(8\right)=\left\{1;2;4;8\right\}$$
$$n$$ étant un entier naturel alors $$n+2\ge 2$$ . Il en résulte donc que :
$$n+2=2$$ ou $$n+2=4$$ ou $$n+2=8$$ .
Ainsi :
$$n+2=2$$ nous donne $$n=0$$
$$n+2=4$$ nous donne $$n=2$$
$$n+2=8$$ nous donne $$n=6$$
Les valeurs de $$n$$ sont alors :