Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 6

$$7\equiv 2 \left[5\right]$$
$$7\red{^{2}}\equiv 2\red{^{2}} \left[5\right]$$ donc $$7\red{^{2}}\equiv4 \left[5\right]$$
$$7\red{^{3}}\equiv 2\red{^{3}} \left[5\right]$$ donc $$7\red{^{3}}\equiv8 \left[5\right]$$ et ainsi $$7\red{^{3}}\equiv3 \left[5\right]$$ car $$8=5\times1+3$$
$$7\red{^{4}}\equiv 2\red{^{4}} \left[5\right]$$ donc $$7\red{^{4}}\equiv16 \left[5\right]$$ et ainsi $$7{^{{\color{blue}{4}}}}\equiv1 \left[5\right]$$ car $$16=5\times3+1$$
De plus, la division euclidienne de $$2021$$ par $${\color{blue}{4}}$$ nous donne : $$2021=4\times505+1$$
Ainsi : $$7^{2021}=7^{4\times505+1}$$ donc $$7^{2021} =7^{4\times 505} \times 7$$ et enfin $$7^{2021} =\left(7^{4} \right)^{505} \times 7$$
Il vient alors que :
$$7{^{4}}\equiv1 \left[5\right]$$
$$\left(7^{4} \right)^{505} \equiv 1^{505} \left[5\right]$$
$$\red{\left(7^{4} \right)^{505}} \equiv \red{1}\left[5\right]$$ . Or $$\blue{7}\equiv \blue{2} \left[5\right]$$
Soit :
$$\red{\left(7^{4} \right)^{505} }\times \blue{7}\equiv \red{1}\times\blue{2}\left[5\right]$$
$$\left(7^{4} \right)^{505} \times 7\equiv 2\left[5\right]$$
Finalement :

Le reste de la division euclidienne de $$7^{2021}$$ par $$5$$ est $$2$$ .