La division euclidienne - Exercice 2

Pour les deux divisions euclidiennes les quotients $$\purple{q}$$ sont égaux.

La division euclidienne de $$n$$ par $$203$$ nous donne l'équation : $$\red{n} = \blue{203}\times\purple{q} + \pink{3}$$ avec $$0\le \pink{3} < \blue{203}$$

La division euclidienne de $$n$$ par $$198$$ nous donne l'équation : $$\red{n} = \blue{198}\times\purple{q} + \pink{83}$$ avec $$0\le \pink{83} < \blue{198}$$

A partir de l'équation $$\red{n} = \blue{203}\times\purple{q} + \pink{3}$$ et de l'équation $$\red{n} = \blue{198}\times\purple{q} + \pink{83}$$ on peut alors écrire que :
$$203\purple{q}+3=198\purple{q}+83$$ équivaut successivement à :
$$203\purple{q}-198\purple{q}=83-3$$
$$5\purple{q}=80$$
$$\purple{q}=\frac{80}{5}$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\red{n} = \blue{203}\times\purple{16} + \pink{3}$$ donc
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\red{n} = \blue{198}\times\purple{16} + \pink{83}$$ donc
L'entier $$n$$ est alors égale à $$3$$ $$251$$ .

Notons $$n$$ le dividende .Il vient alors que :
$$\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}}$$ avec $$0\le \pink{q^{2}} < \blue{33}$$
$$\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}}$$ avec $$0\le \pink{q} < \sqrt{\blue{33}}$$ . Or $$\sqrt{33}\approx 5,74$$.
Il vient alors que :
$$\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}}$$ avec $$0\le \pink{q} \le 5$$

Lorsque $$q=0$$ alors $$n=33\times 0+0^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=0}}$$

Lorsque $$q=1$$ alors $$n=33\times 1+1^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=34}}$$

Lorsque $$q=2$$ alors $$n=33\times 2+2^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=70}}$$

Lorsque $$q=3$$ alors $$n=33\times 3+3^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=108}}$$

Lorsque $$q=4$$ alors $$n=33\times 4+4^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=148}}$$

Lorsque $$q=5$$ alors $$n=33\times 5+5^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=190}}$$

Il y a donc $$6$$ dividendes possibles :