La division euclidienne - Exercice 3

On obtient :
$$\red{6n+7} = \blue{\left(3n+1\right)}\times\purple{2} + \pink{5}$$ avec $$0\le \pink{5} < \blue{3n+1}$$
$$n$$ étant un entier naturel, Il faut donc que :
$$3n+1>5\Leftrightarrow 3n>4\Leftrightarrow n>\frac{4}{3}$$. Finalement, $$n\ge 2$$.
On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de $$\red{6n+7}$$ par $$\blue{3n+1}$$ est $$\pink{5}$$ pour $$n\ge 2$$ .
Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque $$n=0$$ et $$n=1$$

Pour $$n=0$$, on a : $$6n+7=\red{7}$$ et $$3n+1=\blue{1}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{7}$$ par $$\blue{1}$$ est $$\pink{0}$$

Pour $$n=1$$, on a : $$6n+7=\red{13}$$ et $$3n+1=\blue{4}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{13}$$ par $$\blue{4}$$ est $$\pink{1}$$

On obtient :
$$\red{4n+19} = \blue{\left(2n+4\right)}\times\purple{2} + \pink{11}$$ avec $$0\le \pink{11} < \blue{2n+4}$$
$$n$$ étant un entier naturel, Il faut donc que :
$$2n+4>11\Leftrightarrow 2n>7\Leftrightarrow n>\frac{7}{2}$$. Finalement, $$n\ge 4$$.
On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de $$\red{4n+19}$$ par $$\blue{2n+4}$$ est $$\pink{11}$$ pour $$n\ge 4$$ .
Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque $$n=0$$; $$n=1$$; $$n=2$$ et $$n=3$$

Pour $$n=0$$, on a : $$4n+19=\red{19}$$ et $$2n+4=\blue{4}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{19}$$ par $$\blue{4}$$ est $$\pink{3}$$

Pour $$n=1$$, on a : $$4n+19=\red{23}$$ et $$2n+4=\blue{6}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{23}$$ par $$\blue{6}$$ est $$\pink{5}$$

Pour $$n=2$$, on a : $$4n+19=\red{27}$$ et $$2n+4=\blue{8}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{27}$$ par $$\blue{8}$$ est $$\pink{3}$$

Pour $$n=3$$, on a : $$4n+19=\red{31}$$ et $$2n+4=\blue{10}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{31}$$ par $$\blue{10}$$ est $$\pink{1}$$

On obtient :
$$\red{9n+6} = \blue{\left(4n+1\right)}\times\purple{2} + \pink{n+4}$$ avec $$0\le \pink{n+4} < \blue{4n+1}$$
Il faut donc que $$n+4\ge 0$$ et $$4n+1>n+4$$ .
Ainsi $$n\ge -4$$ et $$n>1$$. Finalement, il faut donc que $$n>1$$
On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de $$\red{9n+6}$$ par $$\blue{4n+1}$$ est $$\pink{n+4}$$ pour $$n>1$$ c'est à dire pour $$n\ge 2$$ .
Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque $$n=0$$ et $$n=1$$.

Pour $$n=0$$, on a : $$9n+6=\red{6}$$ et $$4n+1=\blue{1}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{6}$$ par $$\blue{1}$$ est $$\pink{0}$$

Pour $$n=1$$, on a : $$9n+6=\red{15}$$ et $$4n+1=\blue{5}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{15}$$ par $$\blue{5}$$ est $$\pink{0}$$

On obtient :
$$\red{16n+4} = \blue{\left(5n+2\right)}\times\purple{3} + \pink{n-2}$$ avec $$0\le \pink{n-2} < \blue{5n+2}$$
Il faut donc que $$n-2\ge 0$$ et $$5n+2>n-2$$ .
Ainsi $$n\ge 2$$ et $$n>-1$$. Finalement, il faut donc que $$n\ge 2$$
On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de $$\red{16n+4}$$ par $$\blue{5n+2}$$ est $$\pink{n-2}$$ pour $$n\ge 2$$ .
Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque $$n=0$$ et $$n=1$$

Pour $$n=0$$, on a : $$16n+4=\red{4}$$ et $$5n+2=\blue{2}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{4}$$ par $$\blue{2}$$ est $$\pink{0}$$

Pour $$n=1$$, on a : $$16n+4=\red{20}$$ et $$5n+2=\blue{7}$$, donc le reste de la division euclidienne de $$\red{20}$$ par $$\blue{7}$$ est $$\pink{6}$$