Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 2

On pose $$z=x+iy$$. Ainsi :
$$Z=\left(x+iy\right)^{2} +3\left(x+iy\right)-6$$ équivaut successivement à
$$Z=x^{2} +2ixy-y^{2} +3x+3iy-6$$
$$Z=x^{2} -y^{2} +3x-6+i\left(2xy+3y\right)$$
Ainsi la partie réelle notée est $$\text{Re}\left(Z\right)=x^{2} -y^{2} +3x-6$$ et la partie imaginaire notée est $$\text{Im}\left(Z\right)=2xy+3y$$

Donc $$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ c'est à dire $$2xy+3y=0$$
$$2xy+3y=0$$ équivaut à $$y\left(2x+3\right)=0$$ ( équation produit nul )
$$y=0{\text{ ou }}2x+3=0$$.
Finalement $$y=0$$ $${\text{ ou }}$$ $$x=-\frac{3}{2}$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est la réunion de la droite des abscisses et la droite verticale d'équation $$x=-\frac{3}{2}$$.