Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 4

Soit $$z$$ un nombre complexe différent de $$4$$, on pose $$z=x+iy$$.
Il vient alors que :
$$Z=\frac{1}{z+4}$$
$$Z=\frac{1}{x+iy+4}$$
$$Z=\frac{1}{\left(x+4\right)+iy}$$ . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur .
$$Z=\frac{\left(x+4\right)-iy}{\left(\left(x+4\right)+iy\right)\left(\left(x+4\right)-iy\right)}$$
$$Z=\frac{\left(x+4\right)-iy}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} } -i\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$$
On a donc la partie réelle de $$Z$$ qui vaut $$\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$$ et la partie imaginaire de $$Z$$ qui vaut $$\text{Im}\left(Z\right)=-\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$$

$$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à
$$-\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }=0$$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $$z$$ est un nombre complexe différent de $$-4$$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$$-y=0$$ et $$z\ne -4$$
$$y=0$$ et $$z\ne -4$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est donc la droite d'équation $$y=0$$ privée du point d'affixe $$-4$$ .

Ainsi :
$$\text{Re}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }=0$$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $$z$$ est un nombre complexe différent de $$-4$$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$$x+4=0$$ et $$z\ne -4$$
$$x=-4$$ et $$z\ne -4$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation $$x=-4$$ privée du point d'affixe $$-4$$ .