Equation faisant intervenir zz et z‾\overline{z} - Exercice 3

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Soit Z=2z+5z‾+2−5iZ=2z+5\overline{z}+2-5i et soit z=x+iyz=x+iy avec xx et yy deux réels.
Question 1

Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de ZZ en fonction de xx et yy

Correction
On pose z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy, on a alors :
Z=2(x+iy)+5(x−iy)+2−5iZ=2\left(x+iy\right)+5\left(x-iy\right)+2-5i équivaut successivement à :
Z=2x+2iy+5x−5iy+2−5iZ=2x+2iy+5x-5iy+2-5i
Z=7x−3iy+2−5iZ=7x-3iy+2-5i
Z=(7x+2)+i(−3y−5)Z=\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)
Question 2

Résoudre Z=0Z=0

Correction
Nous savons que : 0=0+0i0=0+0i .
Z=0⇔(7x+2)+i(−3y−5)=0+0i.Z=0\Leftrightarrow \left({\color{blue}{7x+2}}\right)+i\left(\color{red}{-3y-5}\right)={\color{blue}{0}}+{\color{red}{0}}i.
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
{7x+2=0−3y−5=0\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{7x+2}}} & {=} & {\color{blue}{0}} \\ {\color{red}{-3y-5}} & {=} & {\color{red}{0}} \end{array}\right.
{7x=−2−3y=5\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {-2} \\ {-3y} & {=} & {5} \end{array}\right.
Ainsi : {x=−27y=−53\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{2}{7} } \\ {y} & {=} & {-\frac{5}{3} } \end{array}\right.
La solution de l'équation Z=0Z=0 est z=−27−53iz=-\frac{2}{7} -\frac{5}{3}i
Question 3

Résoudre Z=1+2iZ=1+2i

Correction
Z=1+2iZ=1+2i équivaut successivement à
(7x+2)+i(−3y−5)=1+2i\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=1+2i
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
(7x+2)+i(−3y−5)=1+2i.\left({\color{blue}{7x+2}}\right)+i\left(\color{red}{-3y-5}\right)={\color{blue}{1}}+{\color{red}{2}}i.
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
{7x+2=1−3y−5=2\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{7x+2}}} & {=} & {{\color{blue}{1}}} \\ {\color{red}{-3y-5}} & {=} & {\color{red}{2}} \end{array}\right.
{7x=1−2−3y=5+2\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {1-2} \\ {-3y} & {=} & {5+2} \end{array}\right.
{7x=−1−3y=7\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {-1} \\ {-3y} & {=} & {7} \end{array}\right.
Ainsi : {x=−17y=−73\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{1}{7} } \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{3} } \end{array}\right.
La solution de l'équation Z=1+2iZ=1+2i est z=−17−73iz=-\frac{1}{7} -\frac{7}{3}i

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