Equation faisant intervenir $$z$$ et $$\overline{z}$$ - Exercice 4

On pose $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$, on a alors
$$Z=-2i\left(x+iy\right)+3\left(x-iy\right)+1+i$$ équivaut successivement à
$$Z=-2ix+2y+3x-3iy+1+i$$
$$Z=3x+2y+1+i\left(-2x-3y+1\right)$$
Ainsi la partie réelle notée est $$\text{Re}\left(Z\right)=3x+2y+1$$ et la partie imaginaire notée est $$\text{Im}\left(Z\right)=-2x-3y+1$$

$$Z=0$$ équivaut à $$3x+2y+1+i\left(-2x-3y+1\right)=0$$.
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {-2x-3y+1} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ il s'agit d'un système deux équations à deux inconnues.
Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $$2$$ et la deuxième ligne par $$3$$ afin que les coefficients devant les $$x$$ soient opposées. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x\times {\color{blue}{2}}+2y\times {\color{blue}{2}}+1\times {\color{blue}{2}}} & {=} & {0\times {\color{blue}{2}}} \\ {-2x\times {\color{blue}{3}}-3y\times {\color{blue}{3}}+1\times {\color{blue}{3}}} & {=} & {0\times {\color{blue}{3}}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y+2} & {=} & {0} \\ {-6x-9y+3} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {6x+\left(-6x\right)+4y+\left(-9y\right)+2+3} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {-5y+5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {-5y} & {=} & {-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{-5}{-5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ Maintenant, nous connaissons la valeur de $$y$$, il suffit de remplacer dans la première ligne le $$y$$ par $$1$$. Il vient :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2\times 1+1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+3} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x} & {=} & {-3} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{-3}{3} } \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Soit : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=0$$ est $$z=-1+i$$