Exercices types $$1$$^ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 2

$$Z=\frac{z-1}{z+1}$$ équivaut successivement à :
$$Z=\frac{x+iy-1}{x+iy+1}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}{\left(\left(x+1\right)+iy\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(x+1-iy\right)}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy-i^{2} y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy+y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1+2iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i$$
La partie réelle de $$Z$$, notée $$\text{Re}\left(Z\right)$$, est : $$\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$
La partie imaginaire de $$Z$$, notée $$\text{Im}\left(Z\right)$$, est : $$\text{Im}\left(Z\right)=\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$$

$$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0$$
$$2y=0{\text{ et }}z\ne 1$$ (on indique $$z\ne 1$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$y=0{\text{ et }}z\ne 1$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est la droite d'équation $$y=0$$ privé du point d'affixe $$1$$.

$$\text{Re}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0$$ (on indique $$z\ne 1$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$x^{2} +y^{2} -1=0$$ $${\text{ et }}z\ne 1$$
$$\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} -1=0 {\text{ et }}z\ne 1$$
$$\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} =1 {\text{ et }}z\ne 1$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $$\Omega \left(0;0 \right)$$ et de rayon $$1$$ privé du point d'affixe $$1$$.