Exercices types $$1$$^ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 4

$$Z=\frac{z-1+i}{z+3-2i}$$ équivaut successivement à :
$$Z=\frac{x+iy-1+i}{x+iy+3-2i}$$
$$Z=\frac{x+iy-1+i}{x+3+i\left(y-2\right)}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}{\left(x+3+i\left(y-2\right)\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-iy+2i\right)}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy-i^{2} y^{2} +2i^{2} y-x-3+iy-2i+ix+3i-i^{2} y+2i^{2} }{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x+3ix+4iy-y+i-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } +i\times \frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
On a donc la partie réelle de $$Z$$ qui vaut $$\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$
et la partie imaginaire de $$Z$$ qui vaut $$\text{Im}\left(Z\right)=\frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$$

$$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0$$
$$3x+4y+1=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$$ (on indique $$z\ne -3+2i$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$4y=-3x-1{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$y=\frac{-3x-1}{4} {\text{ et }}z\ne -3+2i$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est la droite d'équation $$y=\frac{-3x-1}{4}$$ privé du point d'affixe $$-3+2i$$.

$$\text{Re}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0$$
$$x^{2} +y^{2} +2x-y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$$ (on indique $$z\ne -3+2i$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$x^{2} +2x+y^{2} -y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$\left(x+1\right)^{2} -1^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$\left(x+1\right)^{2} -1+\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{4} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =5+1+\frac{1}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\frac{25}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
$$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\left(\frac{5}{2} \right)^{2}{\text{ et }}z\ne -3+2i$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $$\Omega \left(-1;\frac{1}{2} \right)$$ et de rayon $$\frac{5}{2}$$ privé du point d'affixe $$-3+2i$$.