Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

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Question 1

Résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation −2iz‾+3=6z‾−5i-2i\overline{z}+3=6\overline{z}-5i .

Correction
−2iz‾+3=6z‾−5i-2i\overline{z}+3=6\overline{z}-5i
−2iz‾−6z‾=−3−5i-2i\overline{z}-6\overline{z}=-3-5i
(−2i−6)z‾=−3−5i\left(-2i-6\right)\overline{z}=-3-5i
z‾=−3−5i−2i−6\overline{z}=\frac{-3-5i}{-2i-6}
z‾=3+i2i+6\overline{z}=\frac{3+i}{2i+6} . Nous allons maintenant donner la forme algébrique de z‾\overline{z} .
z‾=(3+5i)(−2i+6)(2i+6)(−2i+6)\overline{z}=\frac{\left(3+5i\right)\left(-2i+6\right)}{\left(2i+6\right)\left(-2i+6\right)}
z‾=−6i+18−10i2+30i22+62\overline{z}=\frac{-6i+18-10i^2+30i}{2^2+6^2}
z‾=−6i+18+10+30i40\overline{z}=\frac{-6i+18+10+30i}{40}
z‾=28+24i40\overline{z}=\frac{28+24i}{40}
z‾=2840+24i40\overline{z}=\frac{28}{40}+\frac{24i}{40}
z‾=710+35i\overline{z}=\frac{7}{10}+\frac{3}{5}i . Comme nous connaissons z‾\overline{z} alors nous pouvons déterminer zz.
Ainsi :
z=710−35iz=\frac{7}{10}-\frac{3}{5}i

La solution de l'équation −2iz‾+3=6z‾−5i-2i\overline{z}+3=6\overline{z}-5i est alors S={710−35i}S=\left\{\frac{7}{10}-\frac{3}{5}i\right\}

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