Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

10 min
25
Question 1

Que vaut S=1+e2iπ5+e4iπ5+e6iπ5+e8iπ5S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+e^{\frac{4i\pi }{5}}+e^{\frac{6i\pi }{5}}+e^{\frac{8i\pi }{5}} ?

Correction
S=1+e2iπ5+e4iπ5+e6iπ5+e8iπ5S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+e^{\frac{4i\pi }{5}}+e^{\frac{6i\pi }{5}}+e^{\frac{8i\pi }{5}} équivaut successivement à :
S=1+e2iπ5+e2iπ×25+e2iπ×35+e2iπ×45S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 2}{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 3}{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 4}{5}}
  • (ea)b=ea×b\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}
S=1+e2iπ5+(e2iπ5)2+(e2iπ5)3+(e2iπ5)4S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^2+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^3+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^4
S=(e2iπ5)0+(e2iπ5)1+(e2iπ5)2+(e2iπ5)3+(e2iπ5)4S={\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^0+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^1+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^2+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^3+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^4
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=e2iπ5q=e^{\frac{2i\pi }{5}} et de premier terme qui vaut 11 . La somme est composée de 55 termes.
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
Il vient alors :
S=1−(e2iπ5)51−e2iπ5S=\frac{1-{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^5}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
  • (ea)b=ea×b\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}
S=1−e2iπ×551−e2iπ5S=\frac{1-e^{\frac{2i\pi \times 5}{5}}}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
S=1−e2iπ1−e2iπ5S=\frac{1-e^{2i\pi }}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • S=1−(cos(2π) −sin(2π) )1−e2iπ5S=\frac{1-\left({\mathrm{cos} \left(2\pi \right)\ }-{\mathrm{sin} \left(2\pi \right)\ }\right)}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
    S=1−(1−0)1−e2iπ5S=\frac{1-\left(1-0\right)}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
    S=01−e2iπ5S=\frac{0}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}
    Ainsi :
    S=0S=0

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.