Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 2

8 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

Développer (a+b)3\left(a+b\right)^{3}

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(a+b)3=∑k=0n(3k)akb3−k\left(a+b\right)^{3} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {3} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{3-k} équivaut successivement à :
(a+b)3=(30)a0b3−0+(31)a1b3−1+(32)a2b3−2+(32)a3b3−3\left(a+b\right)^{3} =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)a^{0} b^{3-0} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)a^{1} b^{3-1} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)a^{2} b^{3-2} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)a^{3} b^{3-3}
(a+b)3=(30)a0b3+(31)a1b2+(32)a2b1+(33)a3b0\left(a+b\right)^{3} =\red{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}a^{0} b^{3} +\blue{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}a^{1} b^{2} +\pink{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}a^{2} b^{1} +\purple{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)}a^{3} b^{0}
(a+b)3=1×a0×b3+3×a1×b2+3×a2×b1+1×a3×b0\left(a+b\right)^{3} =\red{1}\times a^{0} \times b^{3} +\blue{3}\times a^{1} \times b^{2} +\pink{3}\times a^{2} \times b^{1} +\purple{1}\times a^{3} \times b^{0}
(a+b)3=1×1×b3+3×a×b2+3×a2×b1+1×a3×1\left(a+b\right)^{3} =1\times 1\times b^{3} +3\times a\times b^{2} +3\times a^{2}\times b^{1} +1\times a^{3}\times 1
Ainsi :
(a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3\left(a+b\right)^{3} =a^{3} +3ab^{2} +3a^{2}b+b^{3}

Question 2

En utilisant les formules d'Euler, linéariser cos⁡3(x)\cos ^{3} \left(x\right) .
Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
exprimer cos⁡3(x)\cos ^{3} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos⁡(nx)\cos\left(nx\right) où n∈Nn\in \mathbb{N}

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • D'après la question précédente, on a montré que : (a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3\left({\color{blue}{a}}+{\color{red}{b}}\right)^{3} ={\color{blue}{a}}^{3} +3{\color{blue}{a}}{\color{red}{b}}^{2} +3{\color{blue}{a}}^{2}{\color{red}{b}}+{\color{red}{b}}^{3}
    cos⁡3(x)=(eix+e−ix2)3\cos ^{3} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{3}
    cos⁡3(x)=(eix+e−ix)323\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{3} }{2^{3} }
    cos⁡3(x)=(eix+e−ix)38\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{e^{ix}}} + {\color{red}{e^{-ix}}}\right)^{3} }{8}
    cos⁡3(x)=(eix)3+3(eix)2e−ix+3eix(e−ix)2+(e−ix)38\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{e^{ix}}} \right)^{3} +3\left({\color{blue}{e^{ix}}} \right)^{2} {\color{red}{e^{-ix}}} +3{\color{blue}{e^{ix}}} \left({\color{red}{e^{-ix}}} \right)^{2} +\left({\color{red}{e^{-ix}}} \right)^{3} }{8}
    cos⁡3(x)=e3ix+3e2ixe−ix+3eixe−2ix+(e−ix)38\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{2ix} e^{-ix} +3e^{ix} e^{-2ix} +\left(e^{-ix} \right)^{3} }{8}
    cos⁡3(x)=e3ix+3e2ix−x+3eix−2x+e−3ix8\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{2ix-x} +3e^{ix-2x} +e^{-3ix} }{8}
    cos⁡3(x)=e3ix+3eix+3e−ix+e−3ix8\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{ix} +3e^{-ix} +e^{-3ix} }{8}
    cos⁡3(x)=e3ix+e−3ix8+3eix+3e−ix8\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +e^{-3ix} }{8} +\frac{3e^{ix} +3e^{-ix} }{8}
    cos⁡3(x)=14(e3ix+e−3ix2)+34(eix+e−ix2)\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \left(\frac{e^{3ix} +e^{-3ix} }{2} \right)+\frac{3}{4} \left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • cos⁡3(x)=14cos⁡(3x)+34cos⁡(x)\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \cos \left(3x\right)+\frac{3}{4} \cos \left(x\right)
    Ainsi :
    cos⁡3(x)=14cos⁡(3x)+34cos⁡(x)\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \cos \left(3x\right)+\frac{3}{4} \cos \left(x\right)

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