Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 3

10 min
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Question 1

En utilisant les formules d'Euler, linéariser sin⁡4(x)\sin ^{4} \left(x\right) .
Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
exprimer sin⁡4(x)\sin ^{4} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos⁡(nx)\cos\left(nx\right) où n∈Nn\in \mathbb{N}

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • sin⁡4(x)=(eix−e−ix2i)4\sin ^{4} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{4}
    sin⁡4(x)=(eix−e−ix)4(2i)4\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4} }{\left(2i\right)^{4} }
    sin⁡4(x)=116(eix−e−ix)4\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4}
    On va appliquer le binôme de newton :
      Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
    Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
    sin⁡4(x)=116×((40)×(eix)0×(−e−ix)4+(41)×(eix)1×(−e−ix)4−1+(42)×(eix)2×(−e−ix)4−2+(43)×(eix)3×(−e−ix)4−3+(44)×(eix)4×(−e−ix)4−4)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
    sin⁡4(x)=116×(1×(eix)0×(−e−ix)4+4×(eix)1×(−e−ix)4−1+6×(eix)2×(−e−ix)4−2+4×(eix)3×(−e−ix)4−3+1×(eix)4×(−e−ix)4−4)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
    sin⁡4(x)=116×(1×1×(−e−ix)4+4×(eix)1×(−e−ix)3+6×(eix)2×(−e−ix)2+4×(eix)3×(−e−ix)1+1×(eix)4×(−e−ix)0)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times 1\times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{3} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{1} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{0} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix−4eix×e−3ix+6×ei2x×e−2ix−4×e3ix×e−ix+1×e−4ix×1)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{ix} \times e^{-3ix} +6\times e^{i2x} \times e^{-2ix} -4\times e^{3ix} \times e^{-ix} +1\times e^{-4ix} \times 1\right)
    cos⁡4(x)=116×(e−4ix−4e−2ix+6×e0−4e2ix+e−4ix)\cos ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6\times e^{0} -4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix−4e−2ix+6−4e2ix+e−4ix)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6-4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix+e−4ix−4e−2ix−4e2ix+6)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4e^{-2ix} -4e^{2ix} +6\right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix+e−4ix−4(e−2ix+e2ix)+6)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)+6\right)
    sin⁡4(x)=e−4ix+e−4ix16−4(e−2ix+e2ix)16+616\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)}{16} +\frac{6}{16}
    sin⁡4(x)=e−4ix+e−4ix16−e−2ix+e2ix4+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{4} +\frac{3}{8}
    sin⁡4(x)=18×e−4ix+e−4ix2−12×e−2ix+e2ix2+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \times \frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{2} -\frac{1}{2} \times \frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{2} +\frac{3}{8}
    Soit :
    sin⁡4(x)=18cos⁡(4x)−12cos⁡(2x)+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \cos \left(4x\right)-\frac{1}{2} \cos \left(2x\right)+\frac{3}{8}

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