Calculer le PGCD de deux nombres exprimés en fonction de $$n$$ - Exercice 2

Notons $$D=\text{PGCD}\left(2n+5;3n+6\right)$$
$$D$$ divise $$2n+5$$ et $$D$$ divise $$3n+6$$ donc $$D$$ divise toute combinaison linéaire de $$2n+5$$ et $$3n+6$$ . Ainsi
$$D$$ divise $$\left(\blue{3}\times \left(2n+5\right)+\purple{\left(-2\right)}\times\left(3n+6\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$D$$ divise $$\left(6n+15-6n-12\right)$$
$$D$$ divise $$3$$
Il en résulte donc que $$D=1$$ ou $$D=3$$ .
Nous allons dresser la table des restes modulo $$3$$ .
Le seul cas possible afin que $$2n+5$$ et $$3n+6$$ soient des multiples de $$3$$ est $$n = 2 + 3k$$ avec $$k \in \mathbb{N}$$
Ainsi :

Si $$n$$ est congru à $$2$$ modulo $$3$$ alors $$2n+5$$ et $$3n+6$$ sont donc divisibles par $$3$$ et leur $$\text{PGCD}$$ est égal à $$3$$. Nous pouvons aussi écrire si $$n = 2 + 3k$$ alors $$\text{PGCD}\left(2n+5;3n+6\right)=3$$

Sinon $$2n+5$$ et $$3n+6$$ ne sont pas divisibles par $$3$$ et leur $$\text{PGCD}$$ est égal à $$1$$. Nous pouvons aussi écrire si $$n \ne 2 + 3k$$ alors $$\text{PGCD}\left(2n+5;3n+6\right)=1$$