Calculs avec les PGCD un peu plus compliqués - Exercice 2

Comme $$\text{PGCD}\left(1320;m\right)=66$$ cela signifie que $$m$$ est un multiple de $$66$$ ou encore que $$\left(66{\rm }|m\right)$$ qui se lit $$66$$ divise $$m$$ .
On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{m=66k}$$ .
De plus, nous savons que $$462\le m\le700$$ ce qui permet de dire que $$462\le \red{66k}\le700$$ ainsi $$7\le k\le10$$
Il en résulte donc que :
$$\text{PGCD}\left(1320;m\right)=66$$
$$\text{PGCD}\left(1320;\red{66k}\right)=66$$
$$\text{PGCD}\left(\blue{66}\times 20;\blue{66}\times k\right)=66$$
$$\blue{66}\times\text{PGCD}\left( 20;k\right)=66$$
$$\text{PGCD}\left( 20;k\right)=1$$
Il faut chercher dans la liste des entiers entre $$7$$ et $$10$$ ceux qui sont premiers avec $$20$$ .
Les valeurs possibles de $$k$$ sont : $$k=\left\{7;9\right\}$$
Enfin les entiers naturels $$\red{m=66k}$$ compris $$462$$ et $$700$$ tels que $$\text{PGCD}\left(1320;m\right)=66$$ sont :