Déterminer une solution de l'équation $$au+bv=1$$ - Exercice 2

Il faut commencer par démontrer que les entiers relatifs $$17$$ et $$5$$ sont premiers entre eux. Pour cela, il faut calculer le $$\text{PGCD}\left(17;5\right)$$.
On vérifie facilement que $$\text{PGCD}\left(17;5\right)=1$$
Il en résulte donc que les entiers relatifs $$17$$ et $$5$$ sont premiers entre eux.
D’après le $$\red{\text{Théorème de Bézout}}$$, on peut déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$17u+5v=1$$.
On cherche un tel couple en utilisant l’algorithme d’Euclide et on isole les restes non nuls obtenus. Il vient alors que :
$$17=5\times 3+\pink{2}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\pink{2}=17-5\times3$$
$$5=2\times 2+\blue{1}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \;\;$$ $$\blue{1}=5-2\times2$$
$$2=1\times 2+0$$
Maintenant nous allons remonter l'algorithme d'Euclide en partant du dernier reste non nul :
$$\blue{1}=5-\pink{2}\times2$$
$$\blue{1}=5-\pink{\left(17-5\times3\right)}\times2$$ ( on va à l'étape suivante en réduisant les expressions disposant de la valeur $$25$$ ) .
On obtient alors :
$$1=5-17\times2+5\times3\times2$$
$$1=5-17\times2+5\times6$$
$$1=17\times \left(-2\right) +5\times 7$$
Il en résulte qu'un couple d'entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$17u+5v=1$$ est le couple $$\left(-2;7\right)$$