Equations et PGCD - Exercice 2

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=16$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$16$$ ou encore que $$\left(16{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$16$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=16k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$16$$ ou encore que $$\left(16{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$16$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=16k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {xy} & {=} & {1024} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {16} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\red{16k}\times \green{16k'}} & {=} & {1024} \\ {\text{PGCD}\left(\red{16k};\green{16k'}\right)} & {=} & {16} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {256k\times k'} & {=} & {1024} \\ {16\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {16} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {\frac{1024}{256} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{16}{16}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {4} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que $$k$$ et $$k'$$ sont des $$\red{\text{diviseurs}}$$ de $$4$$ et $$\red{\text{premier entre eux}}$$.
La liste des diviseurs de $$2$$ est alors $$D\left(2\right)=\left\{1;2;4\right\}$$ . Nous allons noter tous les couples $$\left(k;k'\right)$$ possibles vérifiant $$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {4} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$. On a alors :
$$\left(1;4\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(4;1\right)$$ .
Finalement les couples solutions sont de la forme $$\left(x;y\right)=\left(16k;16k'\right)$$ . Ainsi :
$$\left(16\times 1;16\times 4\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(16\times 4;16\times 1\right)$$
On écrit alors :