Equations et PGCD - Exercice 3

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=10$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$10$$ ou encore que $$\left(10{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$10$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=10k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$10$$ ou encore que $$\left(10{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$10$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=10k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x+y} & {=} & {50} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {10} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\red{10k}+ \green{10k'}} & {=} & {50} \\ {\text{PGCD}\left(\red{10k};\green{10k'}\right)} & {=} & {10} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {10\times\left(k+ k'\right)} & {=} & {50} \\ {10\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {10} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k+ k'} & {=} & {\frac{50}{10} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{10}{10} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k+ k'} & {=} & {5} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Comme $$x<y$$ alors $$10k<10k'$$ donc $$k<k'$$ . Les seuls couples $$\left(k;k'\right)$$ d'entiers non nuls vérifiant $$k+k'=5$$ sont alors :
$$\left(1;4\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(2;3\right)$$
Finalement les couples solutions sont de la forme $$\left(x;y\right)=\left(10k;10k'\right)$$ . Ainsi :
$$\left(10\times 1;10\times 4\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(10\times 2;10\times 3\right)$$
D'où : $$\left(10;40\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(20;30\right)$$
Les couples solutions sont alors :