Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

4 min
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Question 1

Soit nn un entier naturel non nul. Démontrer que nn et n+1n+1 sont toujours premiers entre eux .

Correction
On remarque que :
1×(n+1)+(−1)×n=11\times \left(n+1\right)+\left(-1\right)\times n=1
Theˊoreˋme de Beˊzout\red{\text{Théorème de Bézout}}
  • Deux entiers relatifs aa et bb sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs uu et vv tels que : au+bv=1au+bv=1
    • On a bien ici deux entiers relatifs u=1u=1 et v=−1v=-1 et deux autres entiers naturels a=n+1a=n+1 et b=nb=n tels que au+bv=1au+bv=1
    Il en résulte donc que PGCD(n;n+1)=1\text{PGCD}\left(n;n+1\right)=1.
    Ainsi nn et n+1n+1 sont toujours premiers entre eux.

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