Savoir résoudre une équation diophantienne - Exercice 2

Cette question est juste une formalité, il nous faut remplacer $$x$$ par $$1$$ et $$y$$ par $$2$$ et vérifier que l'on obtient bien $$1$$.
Ainsi :
$$7\times1-3\times2=7-6=\red{1}$$
Il en résulte que le couple $$\left(1 ; 2\right)$$ est bien une solution de l’équation $$7x-3y=1$$

$$\text{\blue{D'une part :}}$$ nous savons que $$\red{7x-3y=1}$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ nous avons démontré à la question $$1$$ que : $$\purple{7\times1-3\times2=1}$$
Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
$$\red{7x-3y}-\left(\purple{7\times1-3\times2}\right)=\red{1}-\purple{1}$$
$$7x-3y-7\times 1+3\times 2=0$$
$$7x-7\times 1=3y-3\times 2$$
$$\pink{7\left(x-1\right)=3\left(y-2\right)}$$
Donc $$7$$ divise $$3\left(y-2\right)$$. Or on sait que $$7$$ et $$3$$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $$7$$ divise $$y−2$$. On peut donc dire que $$y−2=7k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ et donc que $$\green{y =2+7k}$$
En remplaçant l'expression $$\green{y =2+7k}$$ dans l'équation $$\pink{7\left(x-1\right)=3\left(y-2\right)}$$ , il vient :
$$7\left(x-1\right)=3\left(\green{2+7k}-2\right)$$
$$7\left(x-1\right)=3\times 7k$$ . On simplifier par $$7$$, ce qui nous donne :
$$x-1= 3k$$
Ainsi : $$\orange{x=3k+1}$$
Nous venons de trouver le couple $$\left(x;y\right)=\left(\orange{3k+1};\green{2+7k}\right)$$ et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation $$\left(E\right)$$ .
Ainsi :
$$7x-3y=7\left(\orange{3k+1}\right)-3\left(\green{2+7k}\right)$$
$$7x-3y=7\times 3k+7\times 1-3\times 2-3\times 7k$$
$$7x-3y=7\times 1-3\times 2$$
$$7x-3y=7-6$$
$$7x-3y=1$$
On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation $$\left(E\right)$$ sont : $$S=\left\{\left(3k+1;2+7k\right)\right\}$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$